Movimento Browniano e Mercado Financeiro

A Equação de Black-Scholes

Caio Balena / Allan Vieira

Movimento Browniano

Movimento Browniano como conhecemos:

Movimento Browniano - Mercado Financeiro

Exemplo - Mercado Financeiro

O que são Opções ?

  • Opções vs. Ações

  • Call vs. Put

Black, Scholes (e Merton!!)

Teoria - Movimento Browniano


Um processo estocástico \(\{ X(t), t \geq 0 \}\) com espaço de estados \(S=R\) é Movimento Browniano se satisfaz:


  1. \(X(0) = 0\)
  2. \(X(t)\) tem incrementos independentes e estacionários
  3. \(X(t+s) - X(s) \sim N(0,t)\)

Teoria - Equação de Black-Scholes

$$ C_{o} = S_{o}N(d_{1}) - Xe^{-rT}N(d_{2}) $$

onde, $$ d_{1} = \frac{\ln(\frac{S_{o}}{X}) + (r + \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} $$ $$ d_{2} = \frac{\ln(\frac{S_{o}}{X}) + (r - \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma\sqrt{T}} $$ ou, $$ d_{2} = d_{1} - \sigma\sqrt{T} $$ \(S_{o} = \) preço da ação;
\(X = \) preço de exercício (strike);
\(r = \) taxa de juros "risk-free";
\(T = \) tempo até expirar;
\(\sigma = \) desvio padrão dos retornos em escala log (volatilidade)

Exemplo - Cálculo do preço de uma Opção Call (1)


  • Preço da ação \(S_{o}\): \($62,00\)
  • Preço de exercício \(X\): \($62,00\)
  • Tempo até expirar \(T\): \(40\) dias \(\rightarrow\) \(40/365\)
  • Volatilidade \(\sigma\): \(32\% \rightarrow .32\)
  • Taxa de juros "risk-free": \(4\% \rightarrow .4\)

\[ d_{1} = \frac{\ln(\frac{62}{60}) + (0.4 +\frac{(.32)^{2}}{2})\frac{40}{365}} {.32\sqrt{\frac{40}{365}}} \approx 0.4 \]

\[ d_{2} = 0.404 - 0.32\sqrt{\frac{40}{365}} \approx 0.3 \] \[ N(d_{1}) \approx 0.6554\] \[ N(d_{2}) \approx 0.6179\]

Exemplo - Cálculo do preço de uma Opção Call (2)


$$ C_{o} = S_{o}N(d_{1}) - Xe^{-rT}N(d_{2}) $$

$$ C_{o} = (62)(0.6554) - [(60)e^{-0.04(\frac{40}{365})}(0.6179)] $$ $$ C_{o} = 40.63 - (59.74)(0.6179) $$ $$ C_{o} = \$40.63 - \$36.91 = \$3.72 $$

Obrigado!!!