Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Movimento Browniano e Mercado Financeiro

A Equação de Black-Scholes

Caio Balena / Allan Vieira

Movimento Browniano como conhecemos:

Um processo estocástico $\{ X(t), t \geq 0 \}$ com espaço de estados $S=R$ é Movimento Browniano se satisfaz:

$C_{o} = S_{o}N(d_{1}) - Xe^{-rT}N(d_{2})$

onde,

$d_{1} = \frac{\ln(\frac{S_{o}}{X}) + (r + \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$

$d_{2} = \frac{\ln(\frac{S_{o}}{X}) + (r - \frac{\sigma^{2}}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$ ou,

$d_{2} = d_{1} - \sigma\sqrt{T}$

$S_{o} =$ preço da ação;

$X =$ preço de exercício (strike);

$r =$ taxa de juros "risk-free";

$T =$ tempo até expirar;

$\sigma =$ desvio padrão dos retornos em escala log (volatilidade)

$d_{1} = \frac{\ln(\frac{62}{60}) + (0.4 +\frac{(.32)^{2}}{2})\frac{40}{365}} {.32\sqrt{\frac{40}{365}}} \approx 0.4$

$d_{2} = 0.404 - 0.32\sqrt{\frac{40}{365}} \approx 0.3$ $N(d_{1}) \approx 0.6554$ $N(d_{2}) \approx 0.6179$

$C_{o} = S_{o}N(d_{1}) - Xe^{-rT}N(d_{2})$

$C_{o} = (62)(0.6554) - [(60)e^{-0.04(\frac{40}{365})}(0.6179)]$ $C_{o} = 40.63 - (59.74)(0.6179)$ $C_{o} = \$40.63 - \$36.91 = \$3.72$